高等数学学习笔记（一）极限

映射与函数

映射

定义：若$X$、$Y$是2个非空集合，有一法则$f$，对$X$中的每个元素x，都有唯一的y与之对应，$f$就是一个映射，记作$f:X\to Y$。

$X$定义域，记作$Df$

$Rf$：值域

注意：

①三要素：集合$X$，$f$，$Rf$

②$\forall x\in X$，对应的$Y$是唯一的，$Rf\subset Y$，$Rf\ne Y$

函数

定义：$D\sub R$，$f:D\to R$，记作$y=f(x)$，$x\in R$

$R$：表示实数集

注意：$Df$，$f$

$[x]$：取整函数，不超过$x$的最大整数。例如$[3.1]=3$ $[-1.6]=-2$

函数的几种特性

1）有界性

有界：$\exist$正数$M$，使得$|f(x)|\le M$，即$-m\le f(x)\le M$

有界$\iff$既有上界，也有下界

无界：$\forall$正数$M$，$\exist x1\in X$，使得$|f(x)|\gt M$

2）单调性

单调递增：$\forall x1<x2$，则$f(x1)<f(x2)$

单调递减：$\forall x1<x2$，则$f(x1)>f(x2)$

3）奇偶性

D关于原点对称

$f(-x)=f(x)$偶，图像关于y轴对称

$f(-x)=-f(x)$奇，图像关于原点对称

4）周期性

定义：$\exist$正数$l$，使得$f(x+l)=f(x)$，则$f(x)$是周期函数，$l$是周期

eg：$y=sin(x)$，周期$2\pi $

初等函数

基本初等函数

幂函数：$y=x^a$

指数函数：$y=a^x$ $e^x$

对数函数：$y=\log_ax$ $\log_ex=\ln_x$ $\log_{10}x=lg_x$

三角函数

反三角函数

极限

数列极限

定义：$\{x_n\}$是数列，$\forall \epsilon >0$，$\exist$正整数$N$，使得$n>N$时，$|x_n -a|<\epsilon$

$a$：表示极限

$1,\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{3},\cfrac{1}{n},...$

$\lim\limits_{n} \cfrac{1}{n} = 0$

收敛数列的性质

1. 收敛数列极限唯一
2. 收敛数列一定有界，有界不一定收敛
3. 收敛数列具有保号性
4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限

反三角函数

$y=sinx,x=arcsiny \Rightarrow y=arcsinx$

$y=cosx,y=arccosx$

正切函数：$y=tanx,y=arctanx$

余切函数：$y=cotx,y=arccotx$

函数的极限

$ f(x) $在$ x_0 $的去心领域内有定义（在$ x_0 $处可以没有定义）

连续的定义$\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$

$ \exists A $，$ \forall \epsilon >0 $，$ \exist \delta > 0$ 使得 $ 0<|x-x_0|< \delta$时，$ |f(x)-A|<\epsilon $，则称 $ \lim\limits_{x\to x_0} f(x) = A $ 或 $ f(x)\to A(x\to x_0) $

常数C的极限等于C $\lim\limits_{x\to x_0} C = C$

单侧极限：左极限$\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x) = A$、右极限$\lim\limits_{x\to x_0^+} f(x) = A$

极限存在$ \iff $左、右极限存在且相等

无穷小与无穷大

无穷小：趋于0。定义：$ x\to x_0(x\to \infty) $，$ f(x) $ 的极限是0，称$ f(x) $是$ x\to x_0(x\to \infty) $的无穷小

无穷小的加减乘、乘C依然是无穷小，除法则不一定

无穷大：$\infty(+\infty, -\infty)$

极限存在准则，两个重要极限

准则一：夹逼准则
（1）$ g(x)\le f(x)\le h(x) $

（2）$ \lim\limits g(x)=A $，$ \lim\limits h(x)=A $

则

$ \lim\limits f(x) =A $

第一个重要极限

$ \lim\limits_{x\to 0} \cfrac{sinx}{x}=1 $

准则二：单调有界数列必有极限

收敛必有极限，有界不一定收敛（如sinx）

第二个重要极限

$ \lim\limits_{x\to \infty} (1+\cfrac{1}{x})^x=e $

函数的连续性与间断点

连续

连续的第一个定义：$ \lim\limits_{\triangle x\to 0} \triangle y=\lim\limits_{\triangle x} f(x_0+\triangle x)-f(x_0)=0 $

第二定义：$ \lim\limits_{\triangle x\to 0} f(x_0+\triangle x)=f(x_0) $

第三定义：$ \lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0) $

连续存在的准则：

• $f(x)$在$x_0$处有极限、有定义
• 极限等于函数值

$f(x)$在$x_0$处连续$ \iff $$f(x)$在$x_0$处即是左连续也是右连续

几何理解：连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线

间断点

3种情况

• 在$x_0$处无定义
• $ \lim\limits_{x\to x_0} f(x)$不存在
• $ \lim\limits_{x\to x_0} f(x) \ne f(x_0)$

未完待续...

参考

• 常用Mathjax语法