1. 导数(Derivative)
几何意义:
- 想象你在一条曲线上骑自行车,导数可以想象成你那一刻的速度。如果你沿着一条曲线y=f(x)骑行,那么在任何给定点,导数f′(x)就是这条曲线在该点的切线斜率。切线是刚好在该点接触曲线的直线,它的斜率告诉你曲线在这一点上升或下降的速度有多快。
例子:
- 如果你在一个山坡上,导数就是山坡在那个点的陡峭程度。
2. 微分(Differential)
几何意义:
- 微分可以看作是导数的“实际应用”。如果你知道在曲线上的某一点处的切线斜率(即导数),并且你想要知道当你沿着曲线移动一小段距离(dx)时,曲线高度的变化(dy),那么微分dy=f′(x)dx就给出了这个高度变化的近似值。这就像是你沿着山坡走一小步,微分告诉你这一步会让你上升或下降多少。
例子:
- 想象你在地图上测量两个城市之间的直线距离,微分就是这个直线距离的一个小段,它近似于沿着地形(可能是曲线)的实际路径上的距离变化。
3. 偏导数(Partial Derivative)
几何意义:
- 现在想象你在一个三维的地形图上,这个地形图是由两个坐标(比如经度和纬度)定义的。偏导数就是在这个三维空间中,地形在某一点沿某一方向(比如只考虑经度变化,忽略纬度变化)的陡峭程度。对于函数z=f(x,y),关于x的偏导数就是当你在x方向上移动一小步时,高度z的变化率,而保持y不变。
例子:
- 想象你在沙丘上,沙丘的形状是由东西方向和南北方向的变化决定的。偏导数就是告诉你,如果你只沿着东西方向或南北方向走一步,沙丘的高度会如何变化。
总的来说,导数和微分帮助我们理解曲线(一维)或曲面(二维)在某一点的变化率,而偏导数则帮助我们理解三维或更高维度空间中的变化率。这些概念都是描述变化和斜率的几何工具。
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